- Просто о «сложных процентах».
- Попова А.А., учитель математики МБОУ СОШ №30 г. Подольск Московской области
«Нажить много денег-храбрость,
сохранить их-мудрость,
а умело расходовать-искусство»
Авербах Бертольд
Финансовая грамотность —это совокупность базовых знаний в области финансов, банковского дела, страхования, а также бюджетирования личных финансов, которые позволяют человеку правильно подбирать необходимый финансовый продукт или услугу, трезво оценивать, брать на себя риски, которые могут возникнуть в ходе их использования, грамотно накапливать сбережения и определять сомнительные мошеннические схемы отмывания денег.
Математике же отводится особое место в повышении финансовой грамотности — создание математического аппарата для решения основных финансовых «задач». Принципиально важным является то, что задания направлены не столько на проверку знаний и представлений финансово грамотного человека определённого возраста, сколько на развитие финансовой грамотности. Они ориентируются, прежде всего, на формирование ряда умений и стратегий поведения, от которых зависит успех в осуществлении познавательной и практической деятельности, направленной на решение задач, возникающих в финансовой жизни личности, улучшению финансового благополучия личности и общества, а также возможности участия в экономической жизни.
Знания ключевых математических приемов расчетов экономических показателей ученикам необходимо получать уже в средней школе. Например, тема «Проценты» может быть применена при изучении планирования личных сбережений и инвестиций. Также учащихся можно познакомить с формулами простого и сложного процентов, с процентной ставкой банка, научить рассчитывать временную стоимость денег с учетом инфляции и т.д.
Рассмотрю задания, которые встречаются в повседневной жизни и которые можно решить на уроках математики в основной школе.
В Сбербанке для некоторых вкладов принята следующая система начисления денег на сумму, внесенную в банк. За первый год нахождения внесенной суммы на счете она возрастает на некоторое число процентов, в зависимости от вида вклада. В конце года вкладчик может снять со счета эти деньги-«проценты»,как обычно их называют. Если же он этого не сделал, то они капитализируются, то есть присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года проценты начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Коротко говорят, что при такой системе начисляются «проценты на проценты». В математике в такой ситуации обычно говорят о сложных процентах.
Задача. Подсчитаем, например, сколько денег получит вкладчик, скажем через 3 года, если он положит на счет в банк 1800 рублей и ни разу не будет брать деньги со счета, а тем временем сумма будет увеличиваться на 15 %:
15% от этой суммы составляют 0,15∙1800=270 р.,и, значит, через год на его счете будет 1800+270=2070 р.
15% от новой суммы составляют 0,15∙2070=310,5 р.,и,значит через два года на его счете будет 2070+310,5=2380,5р.
15% от новой суммы составит 0,15∙2380,5=357,08р,и,значит ,через три года на его счете будет 2380,5+357,08=2737,58 р.
Очевидно, что при таком непосредственном подсчете понадобилось бы достаточно времени, чтобы подсчитать сумму вклада через четыре, пять лет. Между тем этот подсчет можно провести значительно более просто. Именно ,через год начальная сумма 1800 увеличится на 15%,и поэтому новая сумма составит 115% от начальной, так что начальная увеличится в 1,15 раз. Но в следующем году новая , увеличенная сумма тоже увеличится на те же 15% , т.е. снова увеличится в 1,15 раз. Значит, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,15∙1,15=1,15² раза. Но еще через год эта сумма увеличится в 1,15 раз, так что начальная сумма увеличится в 1,15²∙1,15=1,15³ раза.
Так как 1,15³=1,520875, 1,520875∙1800=2737,58. Через 3 года на счете окажется 2737,58 рублей.
В общем виде эта задача решается следующим образом. Пусть банк начисляет р% годовых ,вносимая сумма равна P рублей ,а сумма ,которая будет на счете через n лет, равна S рублей. S=P∙ (1 +p/100)ⁿ. Это равенство называют формулой сложных процентов.
Разницей законов простого и сложного процента состоит в том, что при простом росте процент каждый раз исчисляют ,исходя из начального значения величины, а при сложном- он исчисляется из предыдущего значения. При простом росте 100%-всегда начальная сумма, а при сложном росте 100% каждый раз новые-это предыдущее значение величины.
Задача. Банк начисляет 20% годовых, внесенная первоначальная сумма равна 5000 руб.Какая сумма будет на счете через 5 лет, если:
а) банк начисляет простые проценты;
б) при начислении сложных процентов?
Решение. Если использовать формулу простого процентного роста, через 5 лет сумма составит:
(1+(20∙5)/100)∙5000=10000руб.,
если же использовать формулу сложного процента, то получим
(1+20/100)5∙5000=12441,6 руб.
Вкладчик, желая внести деньги в банк, всегда должен внимательно ознакомиться с условиями: какие проценты выплачивает банк- простые или сложные, платит ли он «проценты на проценты».И судить об этом надо по тексту договора, который перед подписанием следует внимательно изучить.
Хорошо на отработку формулы решить несколько задач следующего содержания:
1.Какой капитал надо отдать под 10% годовых,чтобы через три года получить вместе с процентами 1 млн.руб.?
2. Какая сумма увеличится за 5 лет на 100 тыс.руб. при ставке 10% годовых?
3. На сколько лет нужно положить вклад в 20 тыс.руб.под 10% годовых,чтобы получить не менее 100 тыс. рублей дохода?
4. Начальный вклад клиента банка составил 100 тыс. рублей. Процентная ставка банка 10% годовых,определить,какая сумма будет на счете этого клиента: через год,через 2 года,через 5 лет,через 10 лет?
5. На каком из счетов через три года сумма будет больше,если вложены: на первом счете-10 тыс.руб. под 36% годовых,на второй 80 тыс.руб. под 19% годовых, на третий 100 тыс.руб. под 10 % годовых?
6. Коммерсант перечислил некоторую сумму в коммерческий банк под определенный процент годовых. Через год он снял 1/3 от накопленной суммы за год. Процент годовых банка на следующий год был увеличен вдвое, поэтому еще через год накопленная сумма увеличилась на 68% от первоначального вклада. Чему равен первоначальный процент годовых?
Образец оформления решения 6 задачи:
Пусть коммерсант перечислил х(руб) под р% годовых , тогда р% от х составляет 0,01хр. Через год сумма стала (х+0,01хр) руб.
После того как через год 1/3 накопленной суммы была снята,2/3(х+0,01хр) руб.осталось в банке на второй год под 2р%. Найдем 2р% от 2/3(х+0,01хр), то есть получаем 2/3(х+0,01хр)∙0,02р (руб) начислено под проценты.
Через 2 года сумма стала:
2/3(х+0.01хр)+2/3(х+0,01хр)∙0,02р=2/3(х+0,01хр)(1+0,02р).
Так как по условию накопленная сумма увеличилась на 68% от первоначальной, то получается уравнение
2/3(х+0,01хр)(1+0,02р)-х=0,68х (х≠0)
2/3(1+0,01р)(1+0,02р)-1=0,68.
После преобразований получаем квадратное уравнение 4р²+600р-30400=0 из которого, путем деления на 4 получаем: р²+150р-7600=0. Решая данное уравнение, получаем р=-190 (не имеет смысла) и р=40-подходит по условию.
Ответ: 40% первоначальный процент годовых.
В ходе разбора задач появляется опорный конспект и выделяются ведущие этапы в решении:
1. Знакомство с текстом задачи.
а) сумма под определенный процент;
б) сумма,оставшаяся на второй год;
в) (процент) годовых увеличил вклад на …%,в ….год;
г) полученная сумма по истечении двух лет.
2. Составление уравнения.
3.Решение уравнения.
4.Выход на правильный ответ.
Выполняя те или иные задания, учащиеся знакомятся с определёнными типичными ситуациями в сфере повседневных финансовых отношений и осваивают отдельные аспекты финансовой грамотности. А это, в свою очередь, обеспечивает их готовность к столкновению с подобными ситуациями в реальной жизни. Задания предполагают осуществление «многоходовых» мыслительных операций обучающимися, так как по каждой предлагаемой ситуации выявление финансовой информации связано с анализом информации в финансовой контексте, с оценкой финансовых проблем, с применением финансовых знаний и понимания. Последовательное выполнение заданий, относящихся к определённой ситуации, обеспечивает погружение учащихся в описанную историю и способствует приобретению ими как новых знаний, так и функциональных навыков.
